Compter les états liés

Le puits infini se résout par une règle : faire tenir un nombre demi-entier de longueurs d'onde entre les parois, et tous les états sont liés. Donnez aux parois une hauteur finie $V_0$ et aucune des deux moitiés ne survit. La fonction d'onde n'est plus contrainte de s'annuler au bord, donc les énergies permises cessent de former une suite arithmétique nette — et comme une particule assez énergétique s'échappe tout simplement, seul un nombre fini d'états reste lié.

Il n'existe pas de formule fermée pour ces énergies. Il existe en revanche une construction qui transforme le problème en une image, et cette image répond d'un coup d'œil à la question « combien d'états ? ».

Deux familles, pas une

Prenons le puits $V(x) = -V_0$ pour $|x| < a$ et $0$ ailleurs, et cherchons un état lié, $-V_0 < E < 0$. À l'intérieur, la particule dispose d'énergie cinétique et oscille ; à l'extérieur, elle est dans la région classiquement interdite et décroît :

Le puits est symétrique par rapport à l'origine, donc $V(-x) = V(x)$ et le hamiltonien commute avec l'opérateur de parité. On peut les diagonaliser simultanément : tout état lié peut donc être choisi pair ou impair — il n'y a pas de troisième possibilité, ni d'état mélangeant les deux. À l'intérieur du puits, cela fixe entièrement la forme : $\cos kx$ pour les états pairs, $\sin kx$ pour les impairs.

Imposer que $\psi$ et $\psi'$ se raccordent en $x = a$ — de façon équivalente, que $\psi'/\psi$ se raccorde, ce qui élimine les amplitudes inconnues — donne une condition par famille :

Un cercle pour les contenir tous

Ces équations sont transcendantes : aucune manipulation ne les résout en $E$. Mais poser $X = ka$ et $Y = \beta a$ les rend traçables, et fournit une relation supplémentaire gratuitement. Les définitions de $k$ et $\beta$ ci-dessus donnent $k^2 + \beta^2 = 2mV_0/\hbar^2$ indépendamment de $E$, donc

Tout état lié du puits se trouve sur un cercle de rayon $R$ — et $R$ est la seule caractéristique du puits qui compte. La profondeur et la largeur n'interviennent que par la combinaison $V_0a^2$. Les deux conditions de raccordement deviennent des courbes dans le même plan :

Un état lié est une intersection. Faites varier $R$ ci-dessous et regardez le cercle grandir à travers les branches.

D'où vient le compte

Ce sont les branches qui permettent à l'image de répondre à la question du dénombrement. La branche $n$ quitte l'axe $X$ en $X = n\pi/2$ et monte jusqu'à l'infini avant que la suivante ne commence : le quart de cercle de rayon $R$ la croise donc exactement une fois — s'il va jusque-là. C'est le cas précisément lorsque $R > n\pi/2$, d'où

Deux conséquences méritent d'être énoncées clairement.

Un puits à une dimension lie toujours au moins un état. La branche paire part de l'origine : aussi petit que soit $R$ — aussi peu profond ou étroit que soit le puits — le cercle la croise. Il n'y a pas de profondeur minimale. (C'est propre à une dimension ; en trois dimensions, un puits assez faible ne lie rien.)

Le premier état impair exige $R > \pi/2$. Les états impairs ne naissent pas en même temps que les pairs. Une fonction d'onde impaire doit s'annuler au centre, ce qui coûte de la courbure donc de l'énergie, et un puits trop faible ne peut pas payer. C'est pourquoi la parité alterne strictement à mesure que les états apparaissent : pair, impair, pair, impair.

Placez $R$ juste au-dessus d'un seuil et la figure annoncera parfois un état de moins que $N$. Ce n'est pas une erreur d'arrondi. Un état qui naît à un seuil a $Y \to 0$, donc sa longueur de décroissance $1/\beta = a/Y$ diverge : il est lié, mais étalé sur des centaines de largeurs de puits. Le solveur numérique travaille dans une boîte finie, et dès que la queue dépasse la boîte, l'état n'y tient plus. La construction et le solveur divergent précisément là où « lié » cesse d'être une description utile.

Les états eux-mêmes

La construction donne les énergies ; les fonctions d'onde en découlent. Chaque état est tracé ci-dessous sur son propre niveau d'énergie — trait plein pour les pairs, tireté pour les impairs.

Deux traits n'ont aucun équivalent dans le puits infini. Les fonctions d'onde ne s'arrêtent pas aux parois : chacune décroît à l'extérieur en $e^{-\beta|x|}$, sur une longueur $1/\beta = a/Y$. Et cette fuite n'est pas uniforme le long de l'échelle — plus un état est bas, plus son $Y$ est grand et plus il est retenu, tandis que l'état le plus haut, à peine lié, peut avoir une fraction substantielle de sa probabilité entièrement hors du puits. Abaissez $R$ vers un seuil et regardez l'état le plus haut s'étaler puis se détacher.

Retrouver le puits infini

Faisons $R \to \infty$. Le cercle devient énorme et rencontre chaque branche très haut, là où la courbe est quasi verticale — c'est-à-dire près de l'asymptote $X \to (n+1)\pi/2$. Alors $ka \to (n+1)\pi/2$, et avec $L = 2a$,

le spectre du puits infini, mesuré depuis le fond du puits. Les états du puits fini sont ceux du puits infini, tirés vers le bas et repoussés vers l'extérieur par la paroi finie — et $R$ mesure ce qui subsiste de cette idéalisation.

Puits infini à gauche

On suppose maintenant que le puits est infini à gauche, c'est à dire $V(x) = -V_0$ pour $0 < x < a$ et $V(x) = \infty$ pour $x < 0$. Ce potentiel modélise par exemple l'intéraction entre deux atomes d'hélium. L'impossibilité pour la particule de pénétrer dans la région $x < 0$ matérialise les interactions répulsives à courte distance entre les deux atomes. La parité n'est plus un bon nombre quantique. La paroi à gauche impose $\psi(0) = 0$ et l'équation différentielle à l'intérieur du puits est la même que précédemment. La condition au bord sélectionne uniquement les modes impairs du puits fini symétrique. Les modes sont donc les branches impaires de la figure précédente. On remarque désormais qu'il n'y a pas nécessairement d'état lié pour un puits peu profond, le cerle de rayon $R$ peut ne pas croiser la première branche impaire. Pour qu'il y ait au moins un état lié, il faut que

On représente ci-dessous les états liés du puits bordé à gauche. Le puits est celui d'avant ; seule la paroi a changé.

Descendez $R$ sous $\pi/2$ et la figure se vide : le puits ne retient plus rien. Le trait vertical à $x = a$ marque le seul bord ouvert — c'est de ce côté-là, et de ce côté seulement, que les états fuient.