L'oscillateur harmonique

L'oscillateur harmonique quantique est le problème lié canonique : une particule dans un potentiel quadratique

Les niveaux d'énergie sont quantifiés :

L'état fondamental a pour énergie $E_0 = \tfrac{1}{2}\hbar\omega$ — l'énergie de point zéro, effet purement quantique.

Évolution temporelle

Tous les états ci-dessus sont stationnaires. Un état propre évolue selon $\psi_n(x,t) = \psi_n(x)\,e^{-iE_n t/\hbar}$, si bien que $|\psi_n(x,t)|^2$ ne change jamais : rien ne bougerait dans cette figure si on l'animait.

Le mouvement exige une superposition. Et comme les états propres forment une base complète, tout état en est une :

Le mouvement provient entièrement des phases relatives. Elles sont ici remarquablement dociles : les $E_n$ étant équidistants, chaque écart de phase est un multiple entier de $\omega$, de sorte que n'importe quelle superposition retrouve exactement sa forme initiale au bout d'une période $T = 2\pi/\omega$. L'oscillateur harmonique ne se déphase jamais.

Un paquet d'ondes gaussien est une telle superposition,

une enveloppe de largeur $\sigma$ qui indique où se trouve la particule, multipliée par une onde plane qui indique à quelle vitesse elle se déplace. Ce n'est pas une alternative à la base propre : c'est un vecteur particulier de cette base, dont les $c_n$ sont fixés par $x_0$, $k_0$ et $\sigma$.

États cohérents

Parmi toutes ces gaussiennes, une largeur se distingue :

qui est précisément celle de l'état fondamental. Un paquet préparé à $\sigma = \sigma_0$ puis déplacé en $x_0$ est un état cohérent : l'état fondamental, translaté. Ses coefficients suivent une loi de Poisson,

de nombre d'occupation moyen $\bar n = |\alpha|^2$ et d'énergie $E = \hbar\omega\left(\bar n + \tfrac12\right)$ — la formule d'un niveau unique, l'entier étant remplacé par une moyenne. Pour $\omega = 1$ et $x_0 = 2{,}5$, on obtient $\bar n = 3{,}125$ et $E = 3{,}625$, le paquet se répartissant sur les états $n = 0$ à $7$ environ.

Trois propriétés le rendent remarquable, et elles sont vérifiées simultanément :

1. Il ne s'étale pas. $\Delta x = \sigma_0$ à tout instant. Toute autre gaussienne respire, sa largeur oscillant à $2\omega$ — deux fois la fréquence du va-et-vient.
2. Son centre obéit exactement à Newton. $\langle x\rangle(t) = x_0\cos\omega t + \dfrac{k_0}{m\omega}\sin\omega t$. Le théorème d'Ehrenfest donne $m\,\mathrm{d}^2\langle x\rangle/\mathrm{d}t^2 = -\langle V'(x)\rangle$, et la force étant ici linéaire, $\langle V'(x)\rangle = V'(\langle x\rangle)$ : la position moyenne suit la trajectoire classique sans la moindre approximation.
3. Il sature la borne de Heisenberg. $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ à chaque instant, le minimum autorisé.

En somme : un paquet de probabilité qui conserve sa forme, suit la trajectoire classique et reste aussi bien défini que le principe d'indétermination l'autorise. C'est ce que la mécanique quantique offre de plus proche d'une bille roulant dans une cuvette, et c'est pourquoi les états cohérents constituent le pont naturel entre descriptions quantique et classique.

Leur portée dépasse le manuel. Un mode du champ électromagnétique est un oscillateur harmonique, et ses états cohérents sont ce qu'émet un laser idéal : $|\alpha|^2$ devient le nombre moyen de photons, et la statistique de Poisson ci-dessus devient le bruit de grenaille du faisceau. Glauber a reçu le prix Nobel 2005 pour l'avoir établi.

Tout ceci est propre à la parabole. Les états cohérents existent parce que les niveaux sont équidistants ; dans un puits anharmonique les écarts de phase ne sont plus commensurables, les termes de la somme se désynchronisent, et le paquet s'étale sans jamais se reformer à l'identique. Là, l'écart entre $\langle x\rangle(t)$ et la trajectoire classique mesure exactement la part du mouvement qui n'a pas d'équivalent classique.