La mesure

Mesurer une observable ne révèle pas une valeur qui existait déjà avant la mesure : la mécanique quantique postule ce qui se passe, à partir de la décomposition en états propres vue précédemment.

Le postulat

Soit $\hat A$ un opérateur hermitien (une observable), de base d'états propres $| \psi_n \rangle$ et de valeurs propres $a_n$, et $| \psi \rangle = \sum_n c_n | \psi_n \rangle$ l'état de la particule, avec $c_n = \langle \psi_n | \psi \rangle$. Mesurer $\hat A$ :

• ne peut donner qu'une des valeurs propres $a_n$ ;
• donne le résultat $a_n$ avec probabilité $|c_n|^2$ — la règle de Born ;
• projette immédiatement l'état sur $| \psi_n \rangle$ : c'est la réduction du paquet d'onde.

Répéter la mesure sur des systèmes préparés à l'identique donne donc, en moyenne,

Pourquoi hermitien

Rien de tout cela ne tient si $\hat A$ n'est pas hermitien. Un opérateur hermitien a deux propriétés que la mesure exploite directement : ses valeurs propres $a_n$ sont réelles — un résultat de mesure est un nombre réel, pas complexe —, et ses états propres forment une base orthonormée complète, ce qui garantit $\sum_n |c_n|^2 = 1$ : les probabilités des différents résultats somment à 1, comme il se doit. Un opérateur non hermitien n'offre aucune de ces deux garanties : ses valeurs propres peuvent être complexes, et ses états propres ne forment en général ni une base orthogonale, ni même une base tout court.

Cas dégénéré

Si plusieurs états propres $| \psi_n^{(1)} \rangle, \dots, | \psi_n^{(d_n)} \rangle$ partagent la même valeur propre $a_n$ (un sous-espace propre de dimension $d_n$), rien ne distingue lequel d'entre eux la mesure sélectionne. La probabilité de $a_n$ se somme alors sur tout le sous-espace, et l'état se projette sur le sous-espace entier plutôt que sur un vecteur propre particulier. En notant $\hat P_n = \sum_k | \psi_n^{(k)} \rangle \langle \psi_n^{(k)} |$ le projecteur sur ce sous-espace,

Quand $d_n = 1$, ceci redonne exactement le cas non dégénéré ci-dessus.