Le maser à ammoniac

L'ammoniac, NH₃, est une pyramide : trois hydrogènes forment une base triangulaire, et l'azote se trouve soit au-dessus, soit au-dessous de leur plan. Les deux configurations sont images l'une de l'autre dans un miroir, et classiquement toutes deux sont des équilibres aussi valables. Appelons-les $|1\rangle$ et $|2\rangle$ . Quantiquement, l'azote peut traverser par effet tunnel d'un côté à l'autre, et ce qui découle de ce seul fait est proche du système non trivial le plus simple de la mécanique quantique : deux états, couplés par un seul nombre. C'est aussi le système qui a donné leur nom aux masers, et peu après aux lasers.

Deux configurations, un hamiltonien

Restreignons-nous à $|1\rangle$ et $|2\rangle$ et écrivons l'hamiltonien dans cette base. Laissée seule dans l'un ou l'autre puits, la molécule aurait la même énergie $E_0$ , puisque les deux configurations sont des images miroir et que rien ne les distingue énergétiquement. Cela fixe la diagonale :

\langle 1|\hat H|1\rangle = \langle 2|\hat H|2\rangle = E_0.

La barrière séparant les deux puits est cependant finie, si bien que l'azote a une amplitude petite mais non nulle de la traverser plutôt que de rester en place. Ce couplage est l'élément hors diagonale, réel par la même symétrie miroir, noté $-A$ :

\langle 1|\hat H|2\rangle = \langle 2|\hat H|1\rangle = -A, \qquad \hat H = \begin{pmatrix} E_0 & -A \\ -A & E_0 \end{pmatrix}.

$A > 0$ mesure la facilité avec laquelle la molécule traverse par effet tunnel : une barrière plus haute ou plus large rend $A$ plus petit, et $A = 0$ découple entièrement les deux puits, laissant $|1\rangle$ et $|2\rangle$ chacun stationnaire de son côté.

États symétrique et antisymétrique

$\hat H$ n'est pas diagonal dans $\{|1\rangle, |2\rangle\}$ , ce ne sont donc pas des états d'énergie définie. Le diagonaliser en donne deux :

|+\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\big(|1\rangle + |2\rangle\big), \quad E_+ = E_0 - A; \qquad |-\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\big(|1\rangle - |2\rangle\big), \quad E_- = E_0 + A.

Le signe désigne la combinaison, pas l'énergie : $|+\rangle$ est l'état symétrique et se situe plus bas, puisque le couplage entre avec un $-A$ . (On les note souvent $|S\rangle$ et $|A\rangle$ , mais $A$ désigne déjà le couplage, et $E_A = E_0 + A$ ne demande qu'à semer la confusion.)

L'effet tunnel, invisible sur la diagonale, a scindé une énergie unique $E_0$ en deux, séparées de $2A$ . La combinaison symétrique se place plus bas et l'antisymétrique plus haut, le même schéma qui met une orbitale liante en dessous d'une orbitale antiliante. Pour l'ammoniac réel, $2A/h \approx 23{,}87\ \text{GHz}$ , soit une longueur d'onde d'environ $1{,}25\ \text{cm}$ : un photon à cette fréquence relie $|+\rangle$ et $|-\rangle$ . Cleeton et Williams ont mesuré cette raie d'absorption en 1934, et c'est exactement cette transition que Gordon, Zeiger et Townes ont mise en oscillation vers 1953-1954 pour construire le premier maser, Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation, l'ancêtre direct du laser.

La molécule bascule

Préparons la molécule dans une configuration définie, $|\psi(0)\rangle = |1\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\big(|+\rangle + |-\rangle\big)$ : une superposition à parts égales, pas un état propre, elle ne reste donc pas immobile. Chaque composante tourne à sa propre vitesse, fixée par $E_+$ et $E_-$ ,

|\psi(t)\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\Big(e^{-iE_+ t/\hbar}|+\rangle + e^{-iE_- t/\hbar}|-\rangle\Big),

et se reprojeter sur la base d'origine donne

P_1(t) = |\langle 1|\psi(t)\rangle|^2 = \cos^2\!\Big(\frac{At}{\hbar}\Big), \qquad P_2(t) = |\langle 2|\psi(t)\rangle|^2 = \sin^2\!\Big(\frac{At}{\hbar}\Big).

L'azote oscille véritablement d'un côté de la molécule à l'autre, à la fréquence angulaire $2A/\hbar$ , exactement l'écart qui sépare $E_+$ de $E_-$ . Posons cependant une autre question : non pas où se trouve l'azote, mais quelle énergie donnerait une mesure. Rien ne bouge alors. $|c_+(t)|^2 = |c_-(t)|^2 = \tfrac12$ à chaque instant $t$ , puisque $|+\rangle$ et $|-\rangle$ sont eux-mêmes des états stationnaires dont seule la phase évolue. Le basculement vit entièrement dans la base de configuration $\{|1\rangle, |2\rangle\}$ ; il est invisible à une mesure faite dans la base d'énergie.

\hat{H} = (0 - A - A 0)

ψ (0) = ∣1 ⟩

t

in units of

ℏ/ A

Solving…

t = 0.00·gap 0.00·flip period 0.00

L'état est deux nombres complexes, il est donc dessiné comme tel : chaque flèche est une amplitude,

⟨ 1∣ ψ (t)⟩

⟨ 2∣ ψ (t)⟩

, son module au carré étant la probabilité de trouver l'azote de ce côté. Regardez l'une raccourcir pendant que l'autre grandit : c'est l'inversion, à

2 A /ℏ

. Dessous, le même état lu de deux façons. Les probabilités de configuration oscillent, tandis que

∣ c_{+} ∣^{2}

∣ c_{-} ∣^{2}

valent

1/2

et n'en bougent plus, données comme barres puisqu' elles n'ont rien à faire au cours du temps. Le temps est en unités de

ℏ/ A

, et c'est tout ce que

A

fixe ici : c'est la seule échelle du problème, donc le changer renomme l'horloge et laisse chaque courbe exactement où elle est.

De l'oscillation à l'amplification

Un faisceau d'ammoniac, à lui seul, ne fait que basculer d'avant en arrière. En faire un maser demande un ingrédient de plus, un moyen de séparer $|+\rangle$ de $|-\rangle$ avant qu'ils n'atteignent une cavité. Chaque configuration géométrique porte un moment dipolaire électrique, pointant en sens opposé dans $|1\rangle$ et $|2\rangle$ , si bien qu'un champ électrique extérieur écarte les deux niveaux en énergie d'une quantité qui croît avec le champ et de signe opposé pour chacun. Faire passer le faisceau moléculaire à travers un champ fortement inhomogène transforme ce déplacement Stark dépendant de l'état en un tri spatial : l'état supérieur $|-\rangle$ est focalisé dans un faisceau, $|+\rangle$ est écarté. Ce qui entre ensuite dans la cavité est une population presque entièrement dans $|-\rangle$ , une inversion de population, à l'envers de l'équilibre thermique, alimentant une cavité résonante à $2A/\hbar$ . Un unique photon à cette fréquence, frappant l'une de ces molécules, stimule la transition $|-\rangle \to |+\rangle$ et ressort accompagné d'un second photon identique au premier. Répété sur tout le faisceau, c'est l'amplification par émission stimulée, la physique derrière le nom.