Mesurer un spin

Un spin ½ n'a que deux résultats possibles selon l'axe qu'on choisit : $+1$ ou $-1$. Pas une projection, pas une amplitude — deux valeurs, quelle que soit la direction où l'on pointe l'appareil. Tout ce qu'il y a d'étrange dans la mesure quantique est déjà contenu dans ce seul fait.

Un état est une direction

Tout état pur d'un système à deux niveaux s'écrit

et réciproquement tout couple $(\theta, \varphi)$ est un état. La correspondance va dans les deux sens : un état de spin est donc une direction de l'espace — ce qui autorise à le dessiner comme une flèche.

Observons où se placent $|u\rangle$ et $|d\rangle$. Ils sont orthogonaux — ils s'excluent absolument — et ils sont antipodaux sur la sphère, non perpendiculaires. Les angles de l'espace de Hilbert sont des demi-angles de l'espace réel, et ce facteur deux est toute la raison d'être du demi-angle dans la formule ci-dessus.

L'équateur, c'est $\theta = 90°$ : tout état qui s'y trouve est une superposition équilibrée de $|u\rangle$ et $|d\rangle$, à la phase $\varphi$ près.

Ce que renvoie une mesure

Orientons un appareil selon un axe $\hat{n}$, faisant un angle $\theta$ avec la direction du spin. Réécrire l'état dans la base propre de cet appareil ne coûte qu'un changement de nom,

une mesure isolée vaut donc $+1$ avec la probabilité $\cos^2(\theta/2)$ et $-1$ avec $\sin^2(\theta/2)$. À $\theta = 0$ c'est une certitude ; à $\theta = 180°$, une certitude de signe opposé ; à $\theta = 90°$ les deux valent $\tfrac{1}{2}$ — une pièce équilibrée, produite par un appareil qui fonctionne parfaitement.

Un électron, quatre appareils

Envoyons un unique électron à travers une série d'appareils, chacun mesurant selon son propre axe, sans perturber le spin entre les mesures.

Lisons les cadrans dans l'ordre : $+1$, $+1$, $-1$, $+1$.

Le premier prend un état initial quelconque et renvoie $+1$ ; le spin ressort orienté selon $+z$, dans l'état $|u\rangle$. Remesurer la même chose redonne la même réponse — c'est le deuxième appareil, et c'est pourquoi une mesure peut servir à préparer un état. On oriente l'appareil selon $+z$, on ne garde que les électrons affichant $+1$, et l'on dispose d'une source de $|u\rangle$.

Le troisième est le plus instructif. Son aiguille pointe selon $-z$, et le cadran affiche $-1$ — mais le spin en ressort toujours orienté vers le haut, toujours $|u\rangle$. L'affichage s'est inversé, pas l'état. Retourner l'appareil ne fait qu'inverser ce qui compte comme positif.

Le quatrième tourne l'aiguille vers $+x$, où $\theta = 90°$, et pour la première fois le résultat n'est plus imposé.

La moyenne, pas la mesure

$\langle \sigma_n \rangle = \cos\theta$ est un énoncé sur un ensemble, pas sur un électron. Pour l'observer, il faut préparer, mesurer une fois, jeter — encore et encore.

La repréparation est l'expérience elle-même, pas un décor. Si l'on réutilise l'électron qui vient de sortir, il est déjà état propre de $\sigma_n$ : chaque mesure suivante redonne la même valeur, et la moyenne tend vers $\pm 1$ au lieu de $\cos\theta$.

La boucle se referme sur la sphère : $\cos\theta$ est la projection de l'axe mesuré sur $z$ — la composante verticale de l'aiguille dessinée sur chaque cadran. L'appareil ne l'affiche jamais. Aucun électron ne l'affiche jamais. Elle n'existe que dans la moyenne d'un grand nombre, dont chacun n'a rien dit d'autre que $+1$ ou $-1$.

À vous de mesurer

Tournez la flèche pour fixer $\theta$, puis tirez les mesures par paquets de cent. Le repère sur chaque barre est la probabilité exacte, calculée depuis l'état lui-même ; la barre est ce que les tirages ont réellement donné. Déplacez la flèche et les compteurs s'effacent — un nouvel angle est une nouvelle expérience, et rien de ce qui a été récolté au précédent ne se reporte.