Effet tunnel

Une particule d'énergie $E$ inférieure à la hauteur $V_0$ d'une barrière a une probabilité non nulle de se trouver de l'autre côté — c'est l'effet tunnel.

Pourquoi un paquet d'ondes ?

L'onde plane $e^{ikx}$ habituellement utilisée pour dériver un coefficient de transmission porte une énergie unique et parfaitement définie, $E = \hbar^2k^2/2m$ — mais elle s'étend aussi sur tout l'espace et pour tout temps. Rien n'« arrive » sur la barrière et rien n'est jamais « détecté » de l'autre côté : c'est une idéalisation stationnaire, pas une particule.

Une vraie particule est localisée : elle part de quelque part, se dirige vers la barrière, et finit par être trouvée d'un côté ou de l'autre. Mais la localiser en position impose à son impulsion — et donc à son énergie — de s'étaler, en vertu du principe d'incertitude. Un vrai paquet d'ondes n'est donc pas à l'énergie $E$ ; c'est une superposition de nombreuses énergies, chacune avec sa propre probabilité de transmission $T(E)$ .

Autrement dit, la fraction d'un vrai paquet d'ondes qui traverse par effet tunnel n'est pas $T$ évaluée à une unique énergie « moyenne » — c'est la transmission moyennée en énergie

T_{\text{eff}} = \int |\varphi(k)|^2\, T\big(E(k)\big)\, dk, \qquad E(k) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}

où $|\varphi(k)|^2$ est la distribution en impulsion du paquet d'ondes. La simulation plus bas le vérifie directement : elle fait évoluer un vrai paquet d'ondes dans le temps, mesure la fraction transmise, et la compare au $T_{\text{eff}}$ calculé par cette formule.

Coefficient de transmission exact

Pour une barrière rectangulaire de largeur $a$ et de hauteur $V_0$ , en posant $\varepsilon = E/V_0$ et $\sigma = 2mV_0a^2/\hbar^2$ :

T(\varepsilon) = \left[1 + \frac{\sinh^2\!\left(\sqrt{\sigma(1-\varepsilon)}\right)}{4\varepsilon(1-\varepsilon)}\right]^{-1}, \qquad R(\varepsilon) = 1 - T(\varepsilon)

pour $\varepsilon < 1$ (effet tunnel sous la barrière). Pour $\varepsilon > 1$ (au-dessus de la barrière), la même formule s'applique avec $\sinh \to \sin$ . C'est le résultat exact — valable à toute énergie, et pas seulement au cœur du régime tunnel.

Pour la barrière utilisée dans la simulation ci-dessous ( $V_0 = 3$ , $a = 1$ ) et une particule à l'énergie moyenne du paquet ( $E = 2$ , soit $\varepsilon = 2/3$ , $\sigma = 6$ ) : $T \approx 0{,}192$ . Retenez ce nombre — ce n'est pas ce que mesure la simulation.

L'approximation en régime tunnel profond

Lorsque la barrière est opaque ( $\sqrt{\sigma(1-\varepsilon)} \gg 1$ ), $\sinh(x) \approx \tfrac{1}{2} e^{x}$ et la formule exacte ci-dessus se réduit à la forme familière

T \approx 16 \, \frac{E}{V_0}\left(1 - \frac{E}{V_0}\right) e^{-2\kappa a}, \quad \kappa = \sqrt{\frac{2m(V_0 - E)}{\hbar^2}}

— l'approximation habituellement citée pour l'effet tunnel, et une bonne approximation dès que la barrière est suffisamment épaisse ou haute. Elle cesse d'être valable quand $E \to V_0$ , où il faut utiliser la formule exacte.

En pratique

reflected = –transmitted = –

Un paquet d'ondes de

⟨ k ⟩ = 2

et d'étalement

Δ k \approx 0, 5

diffusé par la barrière ci-dessus. Les deux côtés partagent la même échelle verticale : le lobe transmis représente donc réellement environ un quart du paquet incident. La fraction mesurée converge vers la prédiction moyennée en énergie, bien au-dessus de

T (⟨ E ⟩) \approx 0, 192

Microscope à effet tunnel

La sensibilité exponentielle de $T$ à la largeur $a$ de la barrière — et pas seulement à son existence — est ce qui donne au microscope à effet tunnel sa résolution atomique : faire varier la distance pointe-échantillon d'environ un rayon atomique change le courant tunnel d'un ordre de grandeur. Un échantillon réel est une surface, pas une ligne : l'espace est une fonction de deux coordonnées, $a(x, y)$ , et le courant est maximal là où cet espace est minimal — typiquement juste au-dessus d'un atome.

Une pointe balaie une surface d'échantillon accidentée — le faible flux d'électrons passant par effet tunnel de l'échantillon vers la pointe s'intensifie au-dessus des bosses, là où l'espace est le plus faible. Le zoom sur le point le plus haut aplatit la vue en ce même balayage à hauteur constante vu de profil : le courant tunnel suit le coefficient de transmission, fortement piqué là où l'espace se resserre.